Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листке бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связанно с темой «Геометрические построения на плоскости». Стереометрические задачи на вычисления и доказательство легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. При изучении тем «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями» и других тем прекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных и метрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигур плоскостями. [1]. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 1. Основные понятия теории изображения фигур. 1.1. Параллельное проектирование и его свойства.

Параллельное (цилиндрическое) проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования с несобственным центром. Здесь предмет рассматривают с бесконечно удаленной точки зрения.

Чертежи геометрических образов в ортогональных проекциях широко применяются в начертательной геометрии. Они просты в построениях, дают возможность легко производить различные измерения геометрических образов и определять взаимоположение отдельных элементов. Пусть в евклидовом пространстве [1] дана некоторая плоскость По и вектор р + По. Пусть М - любая точка пространства, не принадлежащая плоскости По.

Проведем прямую l || р через М, тогда l По = (Мо). Мо называют проекцией точки М на плоскость По. Если р По, то Мо - ортогональная [2] проекция точки М на По. Если М € По, то Мо=М. (рис. 1а и 16) Множество F о проекций точек данной фигуры F на плоскость По называется проекцией фигуры F на плоскость По. Легко показать, что параллельное проецирование, как отображение множества точек пространства во множество точек плоскости По, обладает свойствами (рис. 2а, б, в) 1. Проекцией прямой l является прямая l о, если , если то проекцией прямой l является точка L о, где ( L о) = l По. 2. Проекцией параллельных прямых являются параллельные прямые или совпавшие прямые, или две точки. 3. Коллинеарные точки А, В, С проектируются в коллинеарные точки Ао, Во, Со. 4. Неколлинеарные точки А, В, С, лежащие в плоскости П, не параллельной вектору р, проектируются в неколлинеарные точки Ао, Во, Со. 5. Сохраняется отношение «лежать между» для трех коллинеарных точек А, В, С, если 6. Сохраняется простое отношение трех точек А, В, С, если 7. Если отрезок (луч) АВ не параллелен вектору р, то проекцией АВ является отрезок (луч) АоВо (рис.3) 8. Проекцией пересекающихся прямых являются пересекающиеся прямые или совпадающие прямые. 9. Проекцией скрещивающихся прямых являются пересекающиеся прямые или параллельные прямые, или совокупность точки и прямой (рис. 4а, 46, 4в). 10. Проекцией угла АВС является угол АоВоСо в общем случае ему неравный. (плоскость АВС || р ). 11. Если две фигуры F и Ф - плоские и плоскости в которых они лежат параллельны между собой, но не параллельные p , то отношение площадей проекций F о и Фо равно отношению площадей самих фигур F и Ф Если F - проектируемая фигура при параллельном проецировании, заданном вектором р на плоскость По, то F называют оригиналом, р , направлением проецирования, По - плоскостью проекции, F о - проекция фигуры на плоскость По. Если некоторая фигура F плоскости П подобна фигуре F о плоскости По, то F может быть принята за изображение фигуры, т.е. изображением фигуры может являться любая фигура F , подобная параллельной проекции F о. [4] 1.2. Требования к чертежу Я установила, что первым и важнейшим шагом решения геометрической задачи является построение чертежа, соответствующего условию. Если задача планиметрическая, то чертеж является либо копией оригинала, либо ему подобен. При изображении пространственных фигур возникают трудности, ибо не может плоская фигура быть подобной пространственной.

Чертеж должен удовлетворять некоторым требованиям, способствующим наилучшему восприятию изображения пространственной фигуры.

Прежде всего, чертеж должен быть верен, т, е. представляет собой фигуру, подобную произвольной параллельной проекции оригинала. При этом естественно должны выполняться все свойства параллельного проецирования. При проецировании устанавливается геометрическая (проективная) связь между оригиналом и проекцией.

Геометрические образы (формы) содержат в себе свойства, сохраняющиеся в проекциях. [3] Свойство 1: Если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении.

Свойство 2: Точка пересечения проекций пересекающихся прямых линий является проекцией точки пересечения этих прямых линий.

Свойство 3: Проекции отрезков параллельных прямых линий параллельны и имеют одно направление, а длины их находятся в таком же отношении, как и длины самих отрезков.

Свойство 4: Проекции отрезков двух скрещивающихся прямых линий в зависимости от направления проецирования могут или пресекаться, или быть параллельными.

Свойство 5: При прямоугольном проецировании прямой угол между отрезками прямых проецируется без искажения(прямым углом), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна к ней. Во-вторых, чертеж должен быть наглядным, т. е. дающим пространственное представление об оригинале. С этой целью на изображении помимо очертания рассматриваются видимые и невидимые линии.

Сравните восприятие рис. 6 и 7. Наконец, чертеж должен быть легко выполним циркулем и линейкой, его построение должно удовлетворять аксиомам конструктивной геометрии.

Однако разделы «Геометрические построения на плоскости» и «Методы изображений» так далеко стоят друг от друга, что при изучении одного мы совершенно забываем об изученном ранее другом. [5] 1.3. Изображение плоских фигур в параллельной проекции При изображении плоских фигур в параллельной проекции применяются следующие теоремы.

Теорема 1. Изображением является любой треугольник АВС. Теорема 2. Если дано изображение на плоскости П, то можно построить изображение любой точки . [4] [2] Исходя из теорем 1 и 2, легко построить изображения любых плоских фигур; в частности, изображением параллелограмма (квадрата, ромба, прямоугольника) является любой параллелограмм.

Изображением трапеции является трапеция с тем же отношением длин оснований.

Изображением окружности является эллипс, изображением перпендикулярных диаметров окружности являются сопряженные диаметры эллипса. Ввиду того, что при изображении сферы, цилиндра, конуса необходимо уметь строить изображение окружности, я остановлюсь немного подробнее на способах построения эллипса.

Способ I. Построение эллипса [5] по двум главным диаметрам АВ и C Д (рис. 8). 1. АВ СД = О, Осередина отрезка АВ 2. W 1 (0, ОС), . W 2 (0, ОА) - окружности 3. 4. М 1 € l ,М 2 € l W 2 . 5. l 1 || 0В, М 1 € l 1 , l 2 || ОС, М 2 € l 2 6. М€ l 1 l 2 , М - искомая точка эллипса.

Доказательство правильности построения легко провести, введя систему координат O (0;0), В(а; 0), С(0; b ) и рассматривая параметр t - угол между осью Ох и прямой l . Способ П. Построение эллипса по двум сопряженным диаметрам, используя перспективно аффинные преобразования [6] плоскости (рис. 9). Пусть АВ и CD - два сопряженных диаметра эллипса [7] . Я построю на диаметре АВ окружность и проведу диаметр С 1 D 1 ей перпендикулярный.

Применяю перспективно аффинное преобразование, заданное осью АВ и парой соответствующих точек С1 С (или D 1 D ). Тогда образом окружности будет эллипс.

Собственно построение. 1. АВ, CD , О - середина отрезков АВ и С D . 2. W ( O , ОА) - окружность. 3. OD 1 AB , C 1 € W , D 1 € W 4. 5. С1 М 1 АВ=Мо 6. СМо. 7. l || С1С, М 1 € l 8. СМо l = М - искомая точка эллипса. Можно значительно упростить построение образа точки М 1 , используя подобие треугольников ОСС 1 и ОММ 1 (ОМ 1 || ОС1, ММ 1 || СС 1 и ОМ || ОС). Существует много других способов построения эллипса. [2] 1.4 Задание многогранников.

Геометрическими элементами многогранников [8] являются вершины, ребра, грани и для многогранников-тел - пространство внутри многогранника. Все элементы можно представить в виде структурированного массива точек.

Совокупность всех граней называется поверхностью многогранника.

Поверхность многогранника задана, если есть алгоритм, с помощью которого можно определить на ней точку. Если точка принадлежит многограннику, то она располагается либо на ребре, либо на грани, либо внутри многогранника.

Задание точки на ребре выполняется так же, как построение точки на прямой.

Построение точки на поверхности грани - как построение точки в плоскости. Точка принадлежит внутренней части многогранника, если она принадлежит какому-либо сечению этого многогранника. Часто многогранники задаются графически, поэтому и приходится выполнять построения элементов принадлежащих им (точки-вершины, отрезки-грани, плоские сечения). В случае, когда многогранник задан как тело, основная трудность таких построений состоит в том, что ребра, грани, сечения на проекциях могут оказаться невидимыми (в системе 3- D студия есть возможность моделировать прозрачные поверхности и там этой проблемы нет). Однако, если многогранник задан, как поверхность, в состоянии 'поверхность' можно визуализировать сетку поверхности и все построения выполнять относительно ее.[3] 1.5. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции При изображении пространственных фигур в параллельной проекции применяют теорему Польке-Шварца [9] . Всякий полный невыраженный четырехугольник АВС D вместе с его диагоналями можно рассматривать как изображение тетраэдра любой наперед заданной формы (рис. 10). Используя теорему Польке-Шварца и свойство параллельного проецирования, я показываю, что изображением призмы и пирамиды (рис. 11), цилиндра и конуса (рис. 12) являются фигуры. [4] 2. Методы построения сечений многогранников 2.1. Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости.

Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры F . Для тех, кто знаком с гомологией [10] , удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F - изображения фигуры F . Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения. В дальнейшем будем допускать вольность речи, и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения». [5] Пусть М, N, К - точки секущей плоскости, М 1 , N 1 , К 1 - их проекции на плоскость основания. При этом для призм и цилиндров ММ 1 || NN 1 , NN1 || КК 1 , для конусов и пирамид ММ 1 NN 1 КК 1 = S ( S - вершина). Удобнее обозначать вершины нижнего основания через А 1 , В 1 , С 1 ,... верхнего основания - А, В, С,.... Кратко суть метода следов можно записать следующим образом. 1. МN М 1 N 1 =X 2. МК М 1 К 1 =У 3. ХУ= S - след секущей плоскости 4. A 1 M 1 S = A 0 возможно 5. АоМ А 1 А == А 6. Пункты 4-5 повторить для вершин В1, С1,... нижнего основания фигуры F ; 7. - искомое сечение.

Фактически где f гомология, заданная осью s и парой точек М 1 М или N 1 N, или К 1 К. Строить сечение фигуры F секущей плоскостью методом следов удобно в тех случаях, когда секущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и не принадлежащей ей точкой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми. Во всех случаях легко взять три точки М, N, К, принадлежащие плоскости , и решение проводить по указанной схеме.

Пример 1. Построим сечение призмы А 1 B 1 C 1 D 1 ABCD плоскостью, проходящей через три точки М, N , К. Я рассматриваю все случаи расположения точек М, N , К на поверхности призмы (рис. 13). Рассмотрим случай: М € ВВ 1 , N € СС 1 D 1 D , K € АА 1 E 1 . В данном случае, очевидно, что М 1 =В 1 . Построение. 1.М N М 1 К 1 = Х 1. МК М 1 К 1 = У 2. ХУ= S - след секущей плоскости 3. А 1 К 1 S =Ао 4. АоК А 1 А= A , АоК ЕЕ 1 = Е. 5. D 1 N 1 S= D о 6. D о N DD 1 = D, D о N CC 1 = C 7. - искомое сечение. [7] Пример 2. Построим сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку М € SBC и прямую l лежащую в грани SED . (рис. 14). Построение. 1. S М ВС=М 1 2. МЕ МЕ = X, l ЕО = У, ХУ = S - след секущей плоскости 3. S АВ=К, S АЕ = N . 4. ВС S = Во, ВоМ SB = B , ВоМ SC = С. 5. - искомое сечение. При объяснении шагов построения можно использовать понятие гомологии или факты стереометрии, опираясь на наглядное представление о данных в условии задачи фигурах.

Например, в последнем примере комментарии могут быть следующими. 1. То, что дано, считается построенным. 2. Так как точка М лежит в грани S ВС, то прямые S М и ВС пересекаются, следовательно, легко построить их точку пересечения М 1 . 3. Прямая l лежит в грани S Е D , значит, она пересекает ребра SD и SE в точках и D и Е. 4. Находим прямую s пересечения плоскости основания и секущей плоскости, используя известные точки М, D , Е в секущей плоскости. 5. Очевиден шаг построения. 6. Прямые ВС и s лежат в одной плоскости, Во - их точка пересечения лежит в секущей плоскости, в плоскости основания и в плоскости S ВС. Точка М лежит в секущей плоскости и в плоскости S ВС. Следовательно, прямая ВоМ является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани S ВС. Таким образом, легко построить точки и В и С . ЗАКЛЮЧЕНИЕ В задачах на построение сечений не принято проводить исследования, хотя было бы очень полезно его провести.