Исследование элементарных функций

Скачать работу - Исследование элементарных функций

Красноярск 2005г.

Содержание: · Определение элементарных функций…………….3 · Функция и её свойства ……………………………………..3 · Способы задания функции……………………………….4 · Определение функции……………………………………..4 · Исследование элементарных функций………....6 а) Линейная функция…………………………….......7 б) Степенная функция…………………………………..8 в) Показательная функция……………………………9 г) Логарифмическая функция……………………..10 д) Тригонометрическая функция………………..11 o Y = sin x ……………………………….…11 o Y = cos x …………………………………13 o Y = tg x …………………………………..14 o Y = ctg x …………………………………15 е ) Обратно тригонометрическая функция..16 o Y = arcsin x …………………………….16 o Y = arccos x ……………………………17 o Y = arctg x ……………………………..18 o Y = arcctg x …………………………….19 · Список литературы………………………………………..20 Определение элементарных функций.

Функции С (постоянная), x , а х , 1о g а х, sin х, со s х, tg х, ctg x , а rcsin х, а rccos х, а rctg х называются простейшими элементарными функциями . Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции , мы будем получать новые более сложные фун кции, которые называются элементарными функциями.

Например , у = sin ( x ) — элементарная функ ция.

Элементарные функции нам известны из школьной математики.

Функция, и её свойства: Функция - зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная.

Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x ). Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x ). Возрастающая функция - если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 2 , выполняется неравенство f (х 1 ) f (х 2 ). Убывающая функция - если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 2 , выполняется неравенство f (х 1 )> f (х 2 ) . Способы задания функции: Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у= f ( x ) , где f ( x ) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически. На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.

Определение функции.

Функция , прежде всего, – это одно из основных понятий математического анализа, и чтобы далее рассматривать различные функции, следует дать определение функции. Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y . Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X , если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y . Независимая переменная x называется также аргументом функции. В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента x (её называют также областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями x и y (Область Y изменения функции обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений). Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению x из X отвечало не одно, а несколько значений y (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от однозначной функции, определенной выше. Для указания того факта, что y есть функция от x , пишут: y = f ( x ), y = g ( x ), y = F ( x ) и т.п. Буквы f , g , F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение x , отвечающее заданному y . Поэтому, если одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента x , связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой. Хотя именно буква f связана со словом “функция”, но для обозначения функциональной зависимости может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют одну и ту же букву y : y = y ( x ). В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например, Если, рассматривая функцию y = f ( x ), мы хотим отметить её частное значение, которое отвечает выбранному частному значению x , равному f ( F ( x )= , g ( t )= , то f (1) означает численное значение функции f ( x ) при x =1, т.е. попросту число g (5) означает число 2, и т. д.

Теперь обратимся к самому правилу, или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости.

Наиболее просто осуществление этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде аналитического выражения, указывающего те аналитические операции или действия над постоянными числами и над значением x , которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение y . Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа.

Однако будет ошибочным думать, что это – единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы.

Такова, например, функция E ( x ) – “целая часть числа x ”. Например, E (1)=1, E (2,5)=2, E ( )=3, E (- )=-4 и. т., хотя никакой формулы, выражающей E ( x ), у нас нет.

Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной.

Постоянную функцию обозначают C ( f ( x ) = C ). Функция f ( x ) называется возрастающей (убывающей) на множестве X , если для любой пары чисел следует, что f ( f ( f ( ) > f ( )). Функция f ( x ) называется четной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x из X имеет место равенство f (- x )= f ( x ). График четной функции симметричен относительно оси Oy . Функция f ( x ) называется нечетной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x из X имеет место равенство f (- x )=- f ( x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная). Действительно, пусть y ( x )= f ( x ) + g ( x ). Тогда, если f ( x ) и g ( x ) – четные, то y (- x ) = f (- x ) + g (- x ) = f ( x ) + g ( x ) = y ( x ). Если же f ( x ) и g ( x ) – нечетные функции, то функция y ( x ) также будет нечетной, y (- x ) = f (- x ) + g (- x ) = - f ( x ) – g ( x ) = -[ f ( x ) + g ( x )] = - y ( x ). (Для разности доказательство аналогичное). Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция. В самом деле, пусть y ( x ) = f ( x )* g ( x ) и f ( x ) и g ( x ) – четные функции, тогда y (- x ) = f (- x )* g (- x ) = f ( x )* g ( x ) = y ( x ); если f ( x ) и g ( x ) – нечетные функции, то y (- x ) = f (- x )* g (- x ) = [- f ( x )]*[- g ( x )] = y ( x ); если же f ( x ) – четная, а g ( x ) – нечетная функции, то y ( x ) = f ( x )* g (- x ) = f ( x )*[- g ( x )] = - y ( x ). Функция f ( x ) называется периодической, если существует число Т x из области определения функции выполняется равенство f ( x - T ) = f ( x ) = f ( x + T ). Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то её периодом является также число – T , так как f ( x - T ) = f [( x - T ) + T ] = f ( x ). Если T – период функции, то её периодом будет также и число kT , где k – любое целое число ( k = f ( x 2 T ) = f [( x ) T ] = f ( x ) = f ( x ), f ( x 3 T ) = f [( x 2 T ) ] = f ( x 2 T ) = f ( x 2 T ) = f ( x );обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.

Исследование элементарных функций . Основные простейшие элементарные функции: · Линейная функция y = kx + b ; · Степенная функция y = x ; · Квадратичная функция; · Показательная функция (0 a 1); · Логарифмическая функция (0 a 1); · Тригонометрические функции: sin x , cos x , tg x , ctg x ; · Обратные тригонометрические функции: arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x . Линейная функция. y = kx + b 1. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx + b имеет смысл при любых значениях x 2. Множеством значений линейной функции при k ¹ 0 является множество R всех действительных чисел 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (- x ) = - kx + b . 4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y = b . 5. Асимптоты графика функции не существуют. 6. Функция возрастает при k > 0, функция убывает при k 0. 7. Функция не является ограниченной. 8. График линейной функции y = kx + b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A (0; b ) и B (- b / k ; 0), если k ¹ 0. График линейной функции y = kx + b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx . Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx и положительное направление оси Ox , поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k >0, то этот угол острый, если k k =0 прямая параллельна оси Ox . 9. Точек перегиба не существует. 10. Не существует экстремальных точек. y=kx+b (k y=kx+b (k>0) Степенная функция.

Степенная функция с натуральным показателем y = x n , где n -натуральное число. 1. Область определения функции: D( f )= R ; 2. Область значений: E ( f )= (0 ; + ); 3. Функция является четной, т.е. f (- x )= f ( x ); 4. Нули функции: y =0 при x =0; 5. Функция убывает при x (- ;0]; 6. Функция возрастает при x [0;+ ); 7.

a ) нет вертикальных асимптот b ) нет наклонных асимптот 8. Если n -четное, то экстремум функции x =0 Если n -нечетное, то экстремумов функции нет 9. Если n -четное, то точек перегиба нет Если n -нечетное, то точка перегиба x =0 10. График функции: a ) Если n =2, то графиком функции является квадратная парабола; b )Если п = 3, то функция задана формулой у = х 3 . Ее графиком является кубическая парабола; c )Если п — нечетное натуральное число, причем п 1, то функция обладает свойствами теми же, что и у = х 3 .

[1]

n – четное

n - нечетное

[2] Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п 1): 1. Область определения функции: D( f )= R ; 2. Область значений [0,+ ] ; 3. Функция является четной, т.е. f (-х)= f (х); 4. Нули функции: у = 0 при х = 0; 5. Функция убывает на промежутке (- ;0), возрастает на промежутке (0;+ ). 6. График функции : [1] Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем : 1. Область определения функции: D( f )= R ; 2. Область значений: E ( f )= R ; 3. Функция является нечетной, т.е. f (-х)=- f (х); 4. Нули функции: у = 0 при х = 0; 5. Функция возрастает на всей области определения. 6. График функции : [2] Показательная функция. Y = a x 1. Область определения функции: - 2. Множество значений функции: 0 y 3. Функция ни четная, ни не чётная, так как f (- x ) = a - x 4. Функция не является периодической. 5. Асимптоты графика функции: Вертикальных асимптот не существует, Горизонтальная асимптота у = 0 6. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке - x (на рис.1); 7. если 0 a x (на рис. 2); 8. Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат. 9. Не существует точек перегиба. 10. Не существует экстремальных точек. [1] Логарифмическая функция. Y = log a x 1. Область определения функции: 0 x 2. Множество значений функции: - y 3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f (- x ) = log a (- x ) 4. Функция не периодическая 5. Асимптоты графика функции: Вертикальные асимптоты х = 0 Горизонтальных асимптот не существует 6. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 x если 0 a 7. Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями координат. 8. Не существует точек перегиба. 9. Не существует экстремальных точек. [2] [1] Тригонометрические функции.

оценка транспортных средств цена в Туле
оценка самолета в Липецке
оценка стоимости ноу хау в Белгороде