Рефераты, курсовые. Учебные работы для всех учащихся.

Математика для института

Математика для института

Комплексная форма ряда по синусам Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем: , (т.к. тогда комплексный ряд имеет вид: ГЛАВА 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ Проверка условий представимости Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от до как равную нулю(рис.4). Рис.4 а) f(x)-определенна на R; б) f(x) возрастает на - кусочнo-монотонна. f(x) = const на и Интеграл Фурье В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u): И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так: Интеграл Фурье в комплексной форме Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем: а теперь получим интеграл в комплексной форме: ГЛАВА 4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА Основные сведения Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение: Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... : . . . . . . . . . . Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд: где и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1. Преобразование функции Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1): т. к. она расположена на промежутке от 0 до необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1. Замена: и тогда F(t) примет вид или Вычисление коэффициентов ряда Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим: Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные: Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5): Рис. 5 т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль. Вывод: На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд. ГЛАВА 5 ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Прямое преобразование Для того, чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично.

Поэтому разбиваем отрезок от 0 до на N=8 частей, так чтобы приращение: В нашем случае k-ых точках будет: для нашего случая a=0). Составим табличную функцию:

k 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0.785 1.571 2.356 3.142 3.927 4.712 5.498
0 0.707 1 0.707 0 0 0 0
Табл. 1 Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора n=0,1,...,N-1 Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю). Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию: зная,
n 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
2,4 2 1 0 0.4 0 1 2
0.318 0.25 0.106 0 0.021 0 0.009 0
Табл. 2 Амплитудный спектр Обратное преобразование Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразованиеесть функция : В нашем случаи это: А теперь найдем модули и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям:
k 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0.785 1.571 2.356 3.142 3.927 4.712 5.498
0 0.707 1 0.707 0 0 0 0
0 0.708 1 0.707 8e-4 5e-5 5e-4 3e-4
Табл. 3 Из приведенной таблицы видно, что приближенно равно Построим графики используя табл.3, где F(k), а f(k) рис. 6 : Рис. 6 Вывод: На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно. ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Основные сведения Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число х выполняется равенство Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции: 1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т. 2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период 3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство Тригонометрический ряд. Ряд Фурье Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1) ,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам: , где n=1,2, . . . Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке. ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной). ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой). Ряды Фурье для четных и нечетных функций Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) . Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где n=1,2, . . . Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так: Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где n=1,2, . . . Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так: Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье. Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Последовательность функций непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b], если выполняется условие Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд: коэффициенты которого определяются равенством: n =1,2,... Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи где n=1,2,... Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке по ортогональной системе называется ряд: Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1). Комплексная форма ряда Фурье Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством где Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул: (n=1,2, . . .) Задача о колебании струны Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости. При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению (1) , где а - положительное число. Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных: (2) и начальных условиях: (3) Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t) u(x,t)=X(x)T(t), (4) , где Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает: Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений: Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи. a) Пусть X”=0 и его общее решение запишется так: откуда и б) Пусть получим в) Если то Уравнения имеют корни : получим: где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем: откуда (n=1,2,...) (n=1,2,...). Учитывая это, можно записать: ( n =1,2,...). и, следовательно n=1,2,...), но так как A и B разные для различных значений n то имеем n=1,2,...), где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3). Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой где (n=1,2,...) Интеграл Фурье Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно: 1) абсолютной интегрируемости на 2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой 3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x) Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида: , где Интеграл Фурье для четной и нечетной функции Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем: (3) Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так: , где a(u) определяется равенством (3). Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) : (4) и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид: , где b(u) определяется равенством (4). Комплексная форма интеграла Фурье , (5) где Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x). Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим: двойным интегралом Фуpье в комплексной форме.

Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул: Формулы дискретного преобразования Фурье Обратное преобразование Фурье . где n=1,2,... , k=1,2,... Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор при этом, Этап I 1 Постановка задачи Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы.

Рассмотреть два способа повышение надежности основной схемы до уровня 0.95 а) б) Рис. 1 .1 Первый способ - каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.

Второй способ - подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.

№ элемента 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Надежность 0.6 0.6 0.6 0.3 0.7 0.4 0.3 0.5 0.1
Надеж.(резер.) 0.3 0.3 0.3 0.15 0.35
2 Теоретическая часть Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение: Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий. А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й : 1. Вероятность любого события находится в пределах: 2. Если А и В несовместные события 3. Если имеется счетное множество несовместных событий А 1 , А 2 , ... А n , ... Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е. если при то Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице: Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого Для независимых событий правило умножения принимает вид: Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи. Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя.

Надежность каждого блока равна p. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы. Рис. 2.1 Событие A={безотказная работа прибора}есть произведение n независимых событий А 1 , А 2 , ... А n , где A i ={безотказная работа i -го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя.

Надежность каждого блока равна p. Найти вероятность безотказной работы всей системы. Рис. 2.2 От события В={система будет работать}перейдем к противоположному: есть произведение двух событий: По правилу умножения для независимых событий: 3 Практическая часть Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит : , а также резервной схемы (рис. 1б) : Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока Рис. 3.1 Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так : , где Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения : Шаг первый, при N=1 Шаг второй, при N=2 Шаг третий, при N=3 Шаг четвертый, при N=4 Шаг пятый, при N=5 > 0.95 Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.

Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается заданная вероятность Рис. 3.2 Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так : , где , а Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения : При N=1 : При N=2 : При N=3 : При N=4 : При N=5 : При N=6 : > 0.95 Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем. Этап II 1 Постановка задачи - найти неизвестную константу функции f(x); - выписать функцию распределения, построить их графики; - найти математическое ожидание и дисперсию; - найти вероятность попадания в интервал (1;4). 2 Теоретическая часть Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.

Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х: Основные свойства функции распределения: 1) F(x) - неубывающая функция своего аргумента, при 2) 3) Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке.

Обозначим ее f(x) : Выразим функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x): Основные свойства плотности распределения f(x): 1. Плотность распределения - неотрицательная функция 2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единицы: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений. Перейдем от дискретной случайной величины Х к непрерывной с плотностью f(x). Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины: Для непосредственного вычисления дисперсии непрерывной случайной величины служит формула: 3 Практическая часть Для нахождения неизвестной константы c применим выше описанное свойство: , откуда , или Найдем функцию распределения основываясь на теоретической части: - на интервале - на интервале - на интервале Теперь построим график функций f(x)- плотности распределения (рис. 2.1 - кривая распределения) и F(x)- функции распределения (рис. 2.2) Рис. 2.1 Рис. 2.2 Следуя постановке задачи найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X : Производя еще одну замену приходим к первоначальной формуле из чего можно сделать вывод, что математическое ожидание с.в. Х равно : Также находим дисперсию : И последнее, вероятность попадания в интервал (1;4) находим как : Этап III 1 Постановка задачи Дана случайная выборка объема n=100 :

104.6 95.2 82.0 107.7 116.8 80.0 100.8 124.6 99.4 101.4
100.6 86.3 88.2 103.8 98.5 111.8 83.4 94.7 113.6 74.7
114.3 86.9 106.6 94.9 105.9 88.6 96.6 93.7 90.8 96.5
110.2 100.0 95.6 102.9 91.1 103.6 94.8 112.8 100.1 95.3
113.9 113.9 86.1 110.3 88.4 97.7 70.1 100.5 90.9 94.5
109.1 82.2 101.9 86.7 97.4 102.1 87.2 94.71 112.4 94.9
111.8 99.0 101.6 97.2 96.5 102.7 98.6 100.0 86.2 89.4
85.0 86.6 122.7 101.8 118.3 106.1 91.3 98.4 90.4 95.1
93.1 110.4 100.4 86.5 105.4 96.9 101.9 83.8 107.3 107.5
113.7 102.8 88.7 112.5 79.4 79.1 98.1 103.8 107.2 102.3
2 Теоретическая часть Под случайной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин , не зависимых между собой.

Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.

Упорядоченной статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания . Размах выборки есть величина r=X n -X 1 , где X n - max , X 1 - min элементы выборки.

Группированным статистическим рядом называется интервалы с соответствующими им частотами на которые разбивается упорядоченная выборка, причем ширина интервала находится как : тогда частота попадания в отрезок , где V i - число величин попавших в отрезок получим высоту для построения гистограммы.

Построив гистограмму мы получили аналог кривой распределения по которой можем выдвинуть гипотезу о законе распределения.

Выровнять статистическое распределение с помощью закона о котором выдвинули гипотезу, для этого нужно статист. среднее m x * и статистическую дисперсию D x * . Которые находим как Естественной оценкой для мат. ожидания является среднее арифметическое значение : Посмотрим, является ли эта оценка не смещенной , для этого найдем ее мате-матическое ожидание : то есть оценка для m является несмещенной.

Найдем дисперсию этой оценки : Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X .Если распределение нормально, то оценка для мат. ожидания m является и эффективной.

Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D * , то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений X i от среднего : Проверим состоятельность этой оценки, выразив ее через среднее арифметическое квадратов наблюдений: , где правая часть есть среднее арифметическое значений случайной величины X 2 сходится по вероятности к ее мат. ожиданию: Проверим ее на несмещенность, подставив в вместо его выражение и произведем действия: Так как D * не зависит от выбора начала координат то отцентрируем все случайные величины . Тогда Найдем мат. ожидание величины D * : Но Отсюда видно, что величина D * не является несмещенной оценкой для дисперсии D; ее мат. ожидание не равно D, а несколько меньше.

оценка легковых автомобилей в Москве
оценка стоимости патента в Калуге
экспертиза ущерба в Туле